Номер 7, страница 59 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

7. Имеются два колебательных контура. Один содержит конденсатор емкостью $C_1 = 240 \text{ мкФ}$ и катушку индуктивностью $L_1 = 10,0 \text{ мГн}$, второй — $C_2 = 260 \text{ мкФ}$ и $L_2 = 6,00 \text{ мГн}$. Настроены ли эти контуры в резонанс? Во сколько раз $k$ необходимо изменить емкость $C_2$ или индуктивность $L_2$, чтобы настроить эти контуры в резонанс?

Дано:

Найти:

1. Настроены ли контуры в резонанс?

2. Коэффициент изменения $k$.

Решение:

Настроены ли эти контуры в резонанс?

Два колебательных контура настроены в резонанс, если их собственные (резонансные) частоты колебаний равны. Период собственных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Условие резонанса для двух контуров ($T_1 = T_2$) эквивалентно равенству произведений их индуктивностей на емкости:

$2\pi\sqrt{L_1 C_1} = 2\pi\sqrt{L_2 C_2} \Rightarrow L_1 C_1 = L_2 C_2$

Проверим выполнение этого условия для данных контуров. Вычислим произведения $L_1 C_1$ и $L_2 C_2$:

$L_1 C_1 = (10,0 \times 10^{-3} \text{ Гн}) \times (240 \times 10^{-6} \text{ Ф}) = 2400 \times 10^{-9} \text{ с}^2 = 2,40 \times 10^{-6} \text{ с}^2$

$L_2 C_2 = (6,00 \times 10^{-3} \text{ Гн}) \times (260 \times 10^{-6} \text{ Ф}) = 1560 \times 10^{-9} \text{ с}^2 = 1,56 \times 10^{-6} \text{ с}^2$

Сравнивая полученные значения, видим, что $2,40 \times 10^{-6} \neq 1,56 \times 10^{-6}$, следовательно, $L_1 C_1 \neq L_2 C_2$. Это означает, что собственные частоты контуров не равны.

Ответ: Нет, контуры не настроены в резонанс.

Во сколько раз k необходимо изменить емкость C₂ или индуктивность L₂, чтобы настроить эти контуры в резонанс?

Для настройки контуров в резонанс необходимо изменить параметры второго контура так, чтобы выполнялось условие $L_1 C_1 = L_2 C_2'$, где $C_2'$ — новое значение емкости, либо $L_1 C_1 = L_2' C_2$, где $L_2'$ — новое значение индуктивности.

Поскольку $L_1 C_1 > L_2 C_2$, для достижения равенства необходимо увеличить либо емкость $C_2$, либо индуктивность $L_2$ второго контура.

Найдем коэффициент $k$, на который нужно умножить один из параметров второго контура. Этот коэффициент будет одинаковым для обоих случаев.

Если мы изменяем $C_2$ на $C_2' = k \cdot C_2$, то условие резонанса будет $L_1 C_1 = L_2 (k \cdot C_2)$.

Если мы изменяем $L_2$ на $L_2' = k \cdot L_2$, то условие резонанса будет $L_1 C_1 = (k \cdot L_2) C_2$.

В обоих случаях получаем одну и ту же формулу для $k$:

$k = \frac{L_1 C_1}{L_2 C_2}$

Подставим вычисленные ранее значения:

$k = \frac{2,40 \times 10^{-6} \text{ с}^2}{1,56 \times 10^{-6} \text{ с}^2} = \frac{2,40}{1,56} = \frac{240}{156} = \frac{60 \times 4}{39 \times 4} = \frac{60}{39} = \frac{20 \times 3}{13 \times 3} = \frac{20}{13}$

Вычислим численное значение:

$k = \frac{20}{13} \approx 1,54$

Таким образом, для настройки контуров в резонанс, необходимо увеличить емкость $C_2$ или индуктивность $L_2$ примерно в 1,54 раза.

Ответ: Необходимо увеличить емкость $C_2$ или индуктивность $L_2$ в $k = \frac{20}{13} \approx 1,54$ раза.