Номер 63, страница 269 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

63. Постройте график обратной пропорциональной зависимости, заданной формулой:

а) $y = \frac{6}{x}$;

б) $y = \frac{1}{x}$.

а) Для построения графика функции $y = \frac{6}{x}$ необходимо проанализировать ее свойства. Данная функция является обратной пропорциональной зависимостью, и ее график — гипербола.

Свойства функции и вид графика:

• Коэффициент пропорциональности $k=6$ положителен ($k>0$), следовательно, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
• Область определения функции $D(y)$: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений функции $E(y)$: все действительные числа, кроме $y=0$, то есть $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты графика: оси координат. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой ($y=0$), а ось $Oy$ — вертикальной асимптотой ($x=0$). График будет бесконечно приближаться к этим осям, но никогда их не пересечет.
• Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{6}{-x} = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат $(0,0)$.

Построение графика:

Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Сначала вычислим точки для ветви в I четверти, выбирая удобные значения $x > 0$:

• Если $x=1$, то $y=\frac{6}{1}=6$. Получаем точку $(1, 6)$.
• Если $x=2$, то $y=\frac{6}{2}=3$. Получаем точку $(2, 3)$.
• Если $x=3$, то $y=\frac{6}{3}=2$. Получаем точку $(3, 2)$.
• Если $x=4$, то $y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$. Получаем точку $(4, \mathbf{1}\frac{1}{2})$.
• Если $x=6$, то $y=\frac{6}{6}=1$. Получаем точку $(6, 1)$.

Для построения второй ветви (в III четверти) воспользуемся свойством симметрии относительно начала координат. Для каждой точки $(x, y)$ существует симметричная ей точка $(-x, -y)$:

• $(-1, -6)$
• $(-2, -3)$
• $(-3, -2)$
• $(-4, -\mathbf{1}\frac{1}{2})$
• $(-6, -1)$

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, получим искомый график гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами. Для построения графика можно использовать точки $(1, 6)$, $(2, 3)$, $(6, 1)$ и симметричные им $(-1, -6)$, $(-2, -3)$, $(-6, -1)$.

б) Функция $y = \frac{1}{x}$ — это классический пример обратной пропорциональности, её график также является гиперболой.

Свойства функции и вид графика:

• Коэффициент $k=1$ положителен ($k>0$), поэтому ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
• Область определения $D(y)$: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: горизонтальная — ось $Ox$ ($y=0$), вертикальная — ось $Oy$ ($x=0$).
• Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

Построение графика:

Вычислим координаты нескольких ключевых точек для ветви в I четверти ($x>0$):

• Если $x=\frac{1}{3}$, то $y=\frac{1}{1/3}=3$. Точка $(\frac{1}{3}, 3)$.
• Если $x=\frac{1}{2}$, то $y=\frac{1}{1/2}=2$. Точка $(\frac{1}{2}, 2)$.
• Если $x=\frac{2}{3}$, то $y=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$. Точка $(\frac{2}{3}, \mathbf{1}\frac{1}{2})$.
• Если $x=1$, то $y=\frac{1}{1}=1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x=2$, то $y=\frac{1}{2}$. Точка $(2, \frac{1}{2})$.
• Если $x=3$, то $y=\frac{1}{3}$. Точка $(3, \frac{1}{3})$.

Симметричные им точки для ветви в III четверти ($x<0$):

• $(-\frac{1}{3}, -3)$
• $(-\frac{1}{2}, -2)$
• $(-\frac{2}{3}, -\mathbf{1}\frac{1}{2})$
• $(-1, -1)$
• $(-2, -\frac{1}{2})$
• $(-3, -\frac{1}{3})$

Соединив точки каждой ветви плавной линией, приближающейся к осям, получим график гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и с асимптотами в виде осей координат. Для построения можно использовать точки $(1, 1)$, $(2, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, 2)$ и симметричные им $(-1, -1)$, $(-2, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -2)$.